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By Stefan Hildebrandt

ISBN-10: 3540253688

ISBN-13: 9783540253686

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die research.

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Die Intervallschachtelung {In } erfaßt genau einen Punkt a, und dieser Punkt ist offensichtlich H¨aufungspunkt von {xj }. Aufgaben. 1. Gibt es eine beschr¨ ankte Zahlenfolge, die k vorgeschriebene Werte x1 , x2 , . . , xk ∈ R und nur diese als H¨ aufungspunkte hat? 2. Die Irrationalzahlen liegen dicht in R. Beweis? 3. Sei H die Menge der H¨ aufungspunkte einer beschr¨ ankten Zahlenfolge. Man beweise, daß sup H und inf H in H liegen. 4. Man leite analog zu Satz 1 die Dezimalbruchentwicklung“ nichtnegativer reeller Zahlen ” her.

Satz 1. F¨ ur jedes c ∈ R mit c ≥ 0 gibt es genau ein x ∈ R mit x ≥ 0, so daß x2 = c ist. Beweis. (i) Eindeutigkeit von x. G¨ abe es Zahlen x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 mit x21 = c 2 und x2 = c, so folgte 0 = x21 − x22 = (x1 − x2 )(x1 + x2 ) . Dann muß mindestens einer der Faktoren x1 − x2 und x1 + x2 verschwinden. are aber x1 + x2 = 0, so folgte notwendig W¨are x1 − x2 = 0, so folgte x1 = x2 . W¨ x1 = x2 = 0 wegen x1 ≥ 0 und x2 ≥ 0. In jedem Fall ist x1 = x2 , wie behauptet. (ii) Existenz von x. Wir betrachten die Menge M := {z ∈ R : z ≥ 0 und z 2 ≤ c} .

Bemerkung 7. Allgemeiner setzt man f¨ ur x ≥ 0 und p, q ∈ N: xp/q := (x1/q )p = (xp )1/q , (10) und f¨ ur x > 0 definieren wir x−p/q := (x−1 )p/q . (11) Außerdem setzen wir x0 := 1. Dann erh¨ alt man (mit Induktion) die folgenden Rechenregeln: (12) xr+s = xr xs , xrs = (xr )s , xr y r = (xy)r f¨ ur r, s ∈ Q und x ≥ 0 , y ≥ 0. Wir wollen es bei dieser etwas stiefm¨ utterlichen Betrachtung von xr f¨ ur r ∈ Q belassen, weil wir sp¨ ater die allgemeine Potenz xa f¨ ur x ≥ 0 und a ∈ R mit Hilfe von Exponentialfunktion und Logarithmus sehr elegant behandeln k¨onnen.

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Analysis 1 by Stefan Hildebrandt


by Michael
4.2

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